Tutto è spiegabile con la matematica
… o quasi tutto come dice il mio amico Fabio.
Nel video che accompagna questo post, si può facilmente capire come funziona la crescita esponenziale, ma a volte non si capisce che cosa significhi. Nel caso del CoronaVirus COVID-19 abbiamo assistito ad una crescita esponenziale, partendo da numeri piccolissimi che sono cresciuti in maniera significativa giorno per giorno, moltiplicandosi per una certa costante.
Quindi perchè non seguire questa breve lezione di matematica che dura 8 minuti?
- Cos’è la crescita esponenziale?
- Da dove deriva esattamente la crescita esponenziale?
- Che cosa implica?
- Quando finirà questa crescita esponenziale?
Testo integrale del video in italiano:
Quasi tutti conosciamo la frase “crescita esponenziale“, eppure qualche volta non siamo del tutto in grado di riconoscere il suo vero significato.
Potremmo prendere in esame una sequenza di numeri apparentemente piccoli, e rimanere sorpresi quando questi diventano molto grandi, anche se il loro andamento ha sempre seguito perfettamente quello di una crescita esponenziale.
Questi sono i dati dei casi registrati di COVID-19, ovvero il Coronavirus, al di fuori della Cina, al momento in cui sto girando questo video. Ho quindi deciso di cogliere quest’opportunità per fare una lezione di matematica, forse è un buon momento per tutti noi, per ripassare cos’è esattamente una crescita esponenziale, da dove deriva, cosa implica, e forse il più importante di tutti, come capire quando potrebbe terminare.
Per crescita esponenziale si intende quando giorno dopo giorno, una certa quantità è moltiplicata per qualche costante.
Per quanto riguarda i nostri dati, il numero di casi ogni giorno sembra essere 1.15-1.25 volte il numero di casi del giorno prima.
I virus sono un esempio da manuale per le crescite di questo tipo, dato che ciò che causa nuovi casi, sono i casi già esistenti.
Quindi se il numero di casi in un qualsiasi giorno è N, e diciamo che ogni individuo col virus è, in media, esposto a E persone ogni giorno, ed ognuna di esse ha una probabilità p di ammalarsi, allora il numero di nuovi casi ogni giorno è E*p*N. Il fatto che N sia un moltiplicando, è ciò che velocizza il tutto, dato che col crescere di N il tasso di crescita diventa anch’esso molto grande.
Un modo per capire questo è che ogni volta che aggiungerai nuovi casi per avere una stima dei casi che si presenteranno il giorno dopo possiamo raccogliere N ed è quindi come se moltiplicassimo per una qualche costante maggiore di 1. A volte è più facile notarlo se mettiamo l’asse y del nostro grafico su una scala logaritmica, cioè ogni unità corrisponde al moltiplicare la precedente per un certo fattore fisso; in questo caso, il fattore fisso è una potenza di 10. Su questa scala, la crescita esponenziale ci appare quasi come una linea retta.
Analizzando i nostri dati, sono stati necessari 20 giorni per andare da 100 a 1000, e 13 giorni per arrivare a 10,000, e facendo una regressione lineare per trovare la linea migliore che la approssima, si nota che l’inclinazione della linea sembra crescere di un fattore 10 ogni 16 giorni circa. Questa regressione ci permette inoltre di calcolare quanto questa crescita sia simile a un modello esponenziale, e per utilizzare il dovuto gergo tecnico, la risposta è che è incredibilmente vicina.
Può essere difficile rendersi conto di cosa tutto ciò implichi. Se per esempio prendiamo uno stato con 6,000 casi, mentre un altro ne ha 60, è facile credere che il secondo stia 100 volte meglio del primo. Ma se effettivamente ci troviamo in una situazione in cui i numeri crescono di un fattore di 10 ogni 16 giorni, un altro modo di vedere tutto questo è che il secondo è circa un mese dietro il primo. Tutto questo è abbastanza preoccupante conoscendo l’andamento della crescita.
Sto registrando questo video il 6 marzo, e se l’andamento attuale continua, significa che ci saranno circa 1M di casi in 30 giorni (5 aprile), 10M in 47 giorni (22 Aprile), 100M in 64 giorni (9 maggio) e 1 miliardo in 81 giorni (26 maggio).
È inutile dire che non possiamo seguire questa retta all’infinito, certamente dovrà cominciare a rallentare prima o poi, il punto cruciale è il quando. Sarà come la SARS nel 2002 con 8,000 casi, o più come l’influenza spagnola nel 1918 che infettò circa il 27% della popolazione mondiale?
In genere, tracciare una linea in base ai dati raccolti, non è un buon modo di fare previsioni, ma non ci dimentichiamo che ci sono delle buone ragioni per cui per ora ci aspettiamo una crescita esponenziale. Se ogni giorno il numero di nuovi casi è proporzionale al numero di casi già esistenti, significa che ogni giorno questo numero è moltiplicato per una qualche costante, quindi andare avanti di d giorni è lo stesso che moltiplicare per quella costante d volte. L’unico modo per far si che la crescita si fermi, è che il numero p o il numero E decrescano.
È inevitabile che prima o poi questo fattore di fronte a N decresca. Anche nello scenario in cui la pericolosità del virus sia massima, ovvero il caso in cui ogni giorno, ogni persona infetta sia esposta ad una qualche porzione casuale della popolazione mondiale, ad un certo punto gran parte delle persone esposte al virus saranno già infette, e quindi non posso diventare nuovi casi.
Nella nostra equazione, significa che la probabilità di infezione dovrebbe includere un qualche fattore che renda conto della probabilità che quella persona a cui sei esposto non sia già infetta, che per un modello di esposizione casuale sarebbe (1 – la porzione di persone infette al mondo).
Quando si include un fattore come questo per studiare come cresce N, si ottiene la cosiddetta curva logistica, che è inizialmente indistinguibile da un esponenziale, ma all’avvicinarsi al numero totale della popolazione rallenta, come ci aspettiamo. I veri modelli esponenziali non esistono nel mondo reale, ma sono solo l’inizio di curve logistiche. Il punto in cui la curva va da una curvatura positiva (verso l’alto) ad una negativa (verso il basso), è conosciuto come Da quel momento, il numero di nuovi casi ogni giorno, rappresentato dalla curvatura di questa curva, è più o meno costante, e comincerà molto presto a diminuire.
Un numero che le persone spesso osservano durante le epidemie è il “fattore di crescita”, che indica il rapporto tra i nuovi casi del suddetto giorno e il numero di nuovi casi del giorno precedente. Quindi per chiarire, se guardassimo il numero totale di infetti da un giorno all’altro, e tenessimo conto del cambiamento tra i totali, il fattore di crescita è il rapporto tra i due cambiamenti successivi. Mentre c’è una crescita esponenziale, questo fattore sarà sempre al di sopra di 1, mentre dal momento in cui si comincia ad avere un fattore di crescita vicino ad uno, significa che siamo arrivati al punto di flesso.
Questo può essere utilizzato per osservare un altro fatto particolare mentre si analizza i dati. Immaginiamo cosa potremmo pensare se il numero di nuovi casi in un dato giorno fosse il 15% in più del numero dei nuovi casi del giorno precedente, e paragoniamolo a cosa invece ci sembrerebbe se fossero circa uguali.
Se guardassimo soltanto al numero totale di casi, non ci parrebbero così diversi, ma se il fattore di crescita è 1, significherebbe che siamo arrivati al flesso della curva logistica, il che significa che il numero totale di casi sarà al massimo 2 volte il numero di casi attuali. Un fattore di crescita maggiore di 1 significa che siamo ancora nella parte esponenziale, il che implica che ci aspetta ancora una crescita enorme del numero di casi.
Se nel caso peggiore questo punto di saturazione fosse il numero totale della popolazione, è ovvio che non tutte le persone infette sono situate in modo casuale in giro per il mondo, infatti queste persone sono in realtà raggruppate in comunità. Tuttavia, nel momento in cui includi nella simulazione anche il “viaggiare” tra le varie comunità, la crescita non è in realtà così diversa. Il risultato di tutto ciò è simile ad un modello frattale, dove le singole comunità sono schematizzabili come singoli individui.
Ogni singolo individuo interagisce con gli altri, con una certa probabilità di diffusione del virus, ed è dunque opportuno applicare le stesse leggi di crescita esponenziale.Per fortuna, saturare tutta la popolazione mondiale, non è l’unica cosa che può rallentare il fattore di crescita. L’esposizione al virus diminuisce quando le persone smettono di riunirsi e viaggiare, e il tasso di infezione diminuisce nel momento in cui le persone cominciano a lavarsi di più le mani.
Un altro fatto particolare riguardante la crescita esponenziale è quanto sia sensibile alle variazioni di questa costante. Per esempio, se è il 15%, e siamo a 21,000 casi nel momento di questa registrazione, significa che in 61 giorni sarà ben oltre i 100 milioni. Se invece, attraverso meno esposizione e infezione, scendiamo al 5%, non significa che le stime scendano solo di un fattore di 3, ma bensì arriviamo ad un totale di circa 400,000.
Quindi se le persone sono sufficientemente preoccupate, c’è poco da allarmarsi, mentre se nessuno è preoccupato, quello è il momento in cui ti dovresti preoccupare.
© https://www.3blue1brown.com/covid-thanks
Fonte dei dati: https://www.worldometers.info/coronavirus/coronavirus-cases/#total-cases
Le formule del video
I virus d’altronde sono un esempio da manuale nella spiegazione della crescita esponenziale, anche durante il mio corso di Fisica abbiamo parlato di questo. Il tutto si basa su una serie di formule matematiche..
Nd = Numero di casi del giorno prescelto
E = Numero di persone che mediamente vengono contagiate ogni giornop = La probbailità che ogni esposizione diventi una infezione
∆Nd = Cambiamento nel giorno
Il numero dei nuovi casi è quindi dato da:
∆Nd = E·p·Nd
Nd+1=Nd+E·p·Nd Nd+1=(1+E·p)Nd
Se si prende il grafico e lo si osserva in scala logaritmica, si potrà capire che si può vedere che la crescita è approssimative a una retta, che si può ricavare calcolando la regressione lineare, per appunto approssimando la crescita ad una retta. Nel caso del CoranaVirus COVID-19 sembra che questa crescita sia di una fattore 10 ogni 16 giorni ed è appunto molto vicina ad una crescita esponenziale.
La crescita è data dalla formula sotto riportata:
dNdt=c1-NpopulationN
Il fattore di crescita si ricava con quest’altra formula:
∆Nd∆Nd-1
Video
Fonti
https://www.worldometers.info/coronavirus/coronavirus-cases/#total-cases
