L’altro giorno saluto il figlio undicenne di una conoscente: «Ciao, tutto bene?». Lui, senza nemmeno un ciao di risposta, mi dice: «Oggi ho scoperto che se pieghi un foglio tante volte diventa alto come l’Empire State Building!». Io rimango un attimo spiazzato: come sarebbe a dire? All’inizio penso di aver capito male, così sorrido e gli chiedo: «In che senso scusa? Come può un foglio diventare alto come un grattacielo?». Il ragazzino, sicuro di sé, mi spiega che ha scoperto che dei calcoli dimostrano questo risultato incredibile. Insomma, se prendi un foglio di carta che è spesso un millimetro e lo pieghi a metà più e più volte, raddoppiando lo spessore ogni volta, alla fine ottieni uno spessore gigantesco – a quanto pare pari all’altezza dell’Empire.
A quel punto, incuriosito, continuo la chiacchierata. Gli faccio notare con calma: «Ok, però hai pensato a quanto diventerebbe spesso quel foglio? Cioè, piegandolo così tante volte verrebbe fuori una specie di “mattoncino” di carta durissimo…». Lui un po’ vacilla: in effetti, forse, non aveva considerato la grossezza del malloppo di carta piegata. Insiste però: «Ma no, guarda che è vero, basta fare 20-30 pieghe e diventa altissimo…». Io allora cerco di farlo ragionare meglio: un normalissimo foglio A4 è sottile e piccolo, non puoi piegarlo così tante volte. Dopo 6 o 7 pieghe al massimo diventa impossibile andare avanti, perché la carta si irrigidisce e sembra di provare a piegare un dizionario! Inoltre servirebbe un foglio enorme, perchè un foglio A4 fisicamente finisce. Lui mi osserva un po’ perplesso, probabilmente cercando di capire dov’è l’errore nel suo entusiasmo iniziale.
Alla fine gli anticipo che in realtà la matematica non sbaglia: è vero, se potessimo continuare a piegare un foglio all’infinito, lo spessore raddoppiato crescerebbe a dismisura, fino a raggiungere altezze pazzesche. Però c’è un “ma” grande come una casa (anzi, come un grattacielo): nella vita reale quel risultato è impossibile, perché nessuno riuscirebbe mai a piegare fisicamente un singolo foglio così tante volte. A quel punto ho visto che il suo interesse stava calando – forse la parte divertente per lui era solo l’idea “estrema” iniziale – così ho deciso di spiegargli per bene questa faccenda sorprendente, sperando di non annoiarlo troppo, ma è scappato a giocare con il suo amico.
Il paradosso della crescita esponenziale (spiegato con un foglio di carta)
Perché mai un foglio piegato tante volte dovrebbe arrivare all’altezza dell’Empire State Building? Sembra un’assurdità, ma deriva tutto da un fenomeno matematico: la crescita esponenziale. In parole semplici, un processo esponenziale è quello in cui qualcosa raddoppia ad ogni passo. Nel nostro caso, ogni piega raddoppia lo spessore del foglio. All’inizio il cambiamento è minimo e quasi non ce ne accorgiamo: un normale foglio A4 è spesso circa 0,1 millimetri (un decimo di millimetro), quindi dopo una piega diventa spesso 0,2 mm, dopo due pieghe 0,4 mm. Anche dopo 5 pieghe sarebbe ancora spesso solo 3,2 mm circa – più o meno come due monete impilate, niente di impressionante.
Ma se continuiamo a piegare e raddoppiare, i numeri iniziano a crescere molto rapidamente. Dopo 10 pieghe saremmo a circa 10 centimetri di spessore (come un blocco di appunti bello spesso). Dopo 15 pieghe avremmo superato i 3 metri (immagina una pila di carta alta come il soffitto di casa!). Con 20 pieghe il nostro ipotetico foglio avrebbe uno spessore di oltre 100 metri – praticamente un grattacielo di 30 piani fatto di carta! E aumentiamo ancora: con 23 pieghe si arriverebbe intorno a 1 chilometro di altezza (Un foglio di carta piegato a metà 103 volte – Scientificast). A 30 pieghe lo spessore teorico supera i 100 km (saremmo ben oltre l’atmosfera terrestre, praticamente nello spazio! (Un foglio di carta piegato a metà 103 volte – Scientificast)). Insomma, i numeri diventano giganteschi in poche mosse, è proprio questo il paradosso apparente: all’inizio le differenze sono piccole, ma raddoppia oggi, raddoppia domani, e in breve tempo sei passato da millimetri a chilometri senza nemmeno accorgertene. Il ragazzino parlava dell’Empire State Building (che è alto circa 443 metri con l’antenna): ebbene, basterebbero circa 22 pieghe per superare quell’altezza. In teoria, dopo 22 raddoppi un foglio di carta arriverebbe a circa 420 metri di spessore, poco meno di un Empire State Building intero! (Will A Piece Of Paper, Folded 42 Times, Reach The Moon?) (Un foglio di carta piegato a metà 103 volte – Scientificast)
Non è finita qui: se avessimo la possibilità di continuare, la crescita esponenziale diventa sempre più impressionante. Con 42 pieghe si arriva a un numero fuori scala: lo spessore sarebbe di circa 440.000 km (Un foglio di carta piegato a metà 103 volte – Scientificast)! Hai letto bene: quattrocentoquarantamila chilometri, più della distanza che separa la Terra dalla Luna (circa 384.000 km). In altre parole, un semplice foglio di carta teoricamente piegato 42 volte potrebbe superare la Luna in altezza.
Sembra impossibile da credere – e infatti lo è, ma solo perché la nostra intuizione fatica a immaginare la crescita esponenziale. Siamo abituati a ragionare in modo lineare (se aggiungi un pezzetto alla volta, cresci di poco alla volta), per cui raddoppi consecutivi generano risultati che appaiono controintuitivi, quasi magici. Questo è il “paradosso” della crescita esponenziale: non è una stregoneria, è matematica pura, ma il risultato ci coglie di sorpresa. Un aneddoto famoso racconta di un antico saggio che chiese in dono al re dei chicchi di riso su una scacchiera, raddoppiandoli per ogni casella: alla fine i chicchi erano talmente tanti da sfamare un regno intero! Allo stesso modo, raddoppiare ripetutamente lo spessore di un foglio porta a numeri astronomici, ben oltre la nostra esperienza quotidiana.
Allora dov’è il trucco? Perché non posso davvero prendere un foglio qualsiasi e trasformarlo in un grattacielo di carta? Beh, in realtà un limite c’è – ed è un limite fisico e pratico, non matematico. La matematica dice che raddoppiando lo spessore all’infinito si possono raggiungere altezze incredibili, ma nella vita reale non possiamo fare più di tanto. Prova tu stesso: prendi un foglio A4 e cerca di piegarlo a metà più volte possibile. Dopo 6 o 7 pieghe ti ritroverai con un piccolo “mattone” di carta così spesso e rigido che non riuscirai più a piegarlo ulteriormente. C’è proprio un detto popolare secondo cui “un foglio di carta non si può piegare più di sette volte”. In effetti, con le mani e un normale foglio, quella è più o meno la soglia. Il motivo è semplice: man mano che pieghi, lo spessore cresce (come abbiamo visto) ma la superficie utile diminuisce, e la carta oppone sempre più resistenza. Arrivati a un certo punto, ti manca la leva e la forza per schiacciare ulteriormente gli strati su sé stessi. Inoltre la carta ha una resistenza meccanica: oltre un certo spessore, tende a rompersi o comunque non cede più alla piega, un po’ come tentare di piegare una tavoletta di legno!
Per curiosità, degli esperimenti estremi sono stati fatti davvero. I presentatori di MythBusters, ad esempio, provarono a sfatare il mito delle 7 pieghe utilizzando un enorme foglio grande come un campo da calcio e dei rulli compressori: con tanta fatica riuscirono ad arrivare a 10 pieghe (Will A Piece Of Paper, Folded 42 Times, Reach The Moon?). Oltre non poterono proseguire, perché serviva una pressione mostruosa. Una studentessa californiana di nome Britney Gallivan è entrata persino nel Guinness dei primati: nel 2002 riuscì a piegare una lunga striscia di carta igienica per 12 volte, ma attenzione – quel foglio speciale era lungo oltre un chilometro (circa 1200 metri) (Un foglio di carta piegato a metà 103 volte – Scientificast)! Ci volle un capannone per stendere la carta e tantissima pazienza. Nessuno è mai andato oltre quel record, finora. Dunque, anche se teoricamente a 42 pieghe arriveremmo sulla Luna, in pratica il record reale è di 12 pieghe: ben lontani dalla stratosfera 😅. I limiti fisici del materiale (spessore, rigidità, lunghezza insufficiente e resistenza alla flessione) rendono impossibile piegare un foglio così tante volte. Per far toccare al nostro foglio la cima dell’Empire State Building o la Luna servirebbe un foglio di partenza incredibilmente grande e sottile, e forze di piegatura degne di un supereroe!
Finale a sorpresa (o forse no)
A fine della serata, torno dal mio giovane amico, pronto a condividere con lui la meraviglia (e i limiti) della crescita esponenziale. Gli racconto con entusiasmo: «Vedi, è vero quello che dicevi! Se pieghi un foglio abbastanza volte, i numeri diventano enormi: pensa che con 42 pieghe arrivi addirittura fino alla Luna… però nella realtà non possiamo farlo perché la carta non regge tante pieghe, capisci? È un paradosso divertente: la matematica dice una cosa enorme, ma la fisica ci mette i bastoni tra le ruote…».
Lui mi guarda con un’espressione a metà tra il confuso e l’annoiato. Fa spallucce e, con la più candida delle sincerità, mi fa: «Ma che cos’è un paradosso, cosa c’entra il paradosso?». 😂 E niente, ha cambiato subito tornato a giocare con il suo amico!
Morale della favola: io mi sono fatto un ripassone di matematica e fisica improvvisato, entusiasmandomi per un semplice foglio di carta che avrebbe potuto raggiungere la Luna. Il ragazzino invece, non afferrando fino in fondo dov’era il “paradosso”, ha preferito lasciar perdere e fare altro. D’altronde, a 11 anni hai altre priorità – e va bene così!
